中的定理2得到,初始条件为式(42).

    5.3 目标函数梯度

因此,基于梯度的优化框架求解最优控制问题的具体步骤如下所示:

1)选择一组初始猜测σ_k,θ_k, k = 1, 2, · · · , R;

2)求解水锤离散模型(30);

3)计算状态变化式(36)–(37)和灵敏度方程(41)(43);

4)计算目标函数的梯度(44)–(45)及其状态约束的梯度;

5)执行最优测试.如果当前点是最优的,那么就停止;否则执行第

6)步;6)根据梯度信息得到下一步的搜索方向,确定最优步长,获取新的σ_k,θ_k, k = 1, 2, · · · , R.